Олимпиада по математике 7 класс

[Nika Savely]

Добрый день!

Моя старшая девица писала районный тур по математике, 7 класс. Две задачи из четырех совпадали с теми, которые решали шестиклассники, и я уже знаю, что она их вроде как правильно решила. Это были задачки про Буратино и про реку, которая текла от Г к А.

Остались два задания:

1. Саша задумал четыре натуральных числа. Он умножил каждое число на 3 и все четыре результата выписал на доску. Кроме того, он подсчитал все возможные произведения задуманных чисел по два и получившиеся шесть произведений тоже выписал на доску. Докажите, что среди десяти чисел, написанных на доске, какие-то два числа оканчиваются одной и той же цифрой.

2. На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень каждая коза перепрыгнула со своего участка на один из соседних. Пастух подсчитал, что в результате на каждом участке количество коз изменилось ровно в семь раз. Докажите, что он ошибся.

У кого-нибудь ребенок решал эти задачи? Как решил?

[villy]

Добрый день
Только увидела тему, но лучше поздно, чем никогда :)
Мой ребенок писал как раз 7ой класс. Задачу про коз не решила (были мысли, которые, как потом выяснилось приводят к верному решению, но почему-то было решено что это бред и в результате в работе был написан полный бред :) ). Но пару решений этой задачи я теперь знаю :) Одно из них (именно так решила одна из знакомых девочек):
любым способом пронумеруем участки поляны, например А1, А2 и т.д
В результате на каждом участке станет 7А или 1/7А. Можно записать сумма 7Аi + сумма 1/7 Аj=150, а исходно было суммаАi + сумма Аj=150. Вычтем равенства друг из друга, в результате получается что суммаАi=1/7 сумма Аj, если подставим в исходное, то в результате можно получить 4сумма Аj=7*75, слева четное, справа-нечетное, то есть решения в целых числах нет,а любое А -целое.
Второе решение помню хуже, там про множества :) Если интересно -вечером узнаю.

А про первую спрошу вечером, если не забуду, у ребенка. У него правда был другой вариант, но они отличаются с точностью до чисел, обычно.

[villy]

Появились результаты за 7ой класс (на сайте Аничкова (http://www.anichkov.ru/olimpus/matem/top))

[Nika Savely]

Да, спасибо. Я уже посмотрела. Но меня интересовали сами решения :)

[villy]

Да, спасибо. Я уже посмотрела. Но меня интересовали сами решения :)
Решение одной я уже писала, про вторую просто забыла :008:
Вот, как раз ребенок рядом, пишу под его диктовку:
Если произведения оканчиваются на одинаковые цифры - то задача решена.
Рассмотрим случай, когда все произведения оканчиваются на различные цифры. Тогда присутствуют все цифры. Посмотрим на число, оканчивающееся на ноль. Есть два варианта: если это 3a и если это ab. Вариант 1: если 3a оканчивается на ноль, то а тоже оканчивается на ноль, тогда а*<на еще что-нибудь> оканчивается тоже на ноль. Вариант 2: тут получается что или а или b делится на 5. Пусть это а. Тогда ab, ac и ad делятся на 5, следовательно оканчиваются на 5 или 0. Значит два из них оканчиваются на одну и туже цифру.

[Nika Savely]

Спасибо :)