Помогите решить задачу по алгебре за 9 класс!

[Юля Семенова]

Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен 0,6. Найдите косинус угла при вершине этого треугольника.

Помогите, пожалуйста! Завтра сдавать.(

[Yoda]

Да вроде это геометрия, а не алгебра....
А учебник по геометрии читать пробовали? Точнее, ребенок ваш пробовал читать?

[Юля Семенова]

Эти именно алгебра, тригонометрия. Задача из раздела С, т.е. повышенной сложности.
Части А и В она решила.

[Tasha007]

находите косинус половины угла при вершине (x)
а дальше считаете cos2x по формуле

[Tasha007]

Да вроде это геометрия, а не алгебра....

какая на фиг геометрия. раздел одной формулы млин.

[Юля Семенова]

находите косинус половины угла при вершине (x)
а дальше считаете cos2x по формуле

Ой, а можете подробнее? Я дочку спать отправила, а сама ничего не помню.

[И это пройдет...]

1). Посмотрите по таблице Брадиса, синус какого угла равен 0,6. Назовем этот угол А.
2). Угол при вершине будет равен В=180 - 2А (т.к. треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, а сумма всех углов треугольника равна 180 градусам).
3). Смотрите, чему равен cos B опять в той же таблице Брадиса

Таблица Брадиса - это таблица синусов и косинусов :)

[Юля Семенова]

1). Посмотрите по таблице Брадиса, синус какого угла равен 0,6. Назовем этот угол А.
2). Угол при вершине будет равен В=180 - 2А (т.к. треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, а сумма всех углов треугольника равна 180 градусам).
3). Смотрите, чему равен cos B опять в той же таблице Брадиса

Таблица Брадиса - это таблица синусов и косинусов :)

Так мы решили, но дочка говорит, что это неверное решение. Надо с помощью тригонометрических формул.(

[Strossmayer]

Обозначим угол при основании за α, угол при вершине за β. Из равенства углов при основании равнобедренного треугольника и теоремы о сумме углов треугольника имеем 2α+β=π. Тогда β=π-2α, а cos β= cos (π-2α)=-cos 2α. По формуле для косинуса суммы углов имеем cos 2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α. Тем самым, cos β=2sin²α-1=-0.28∎

[Юля Семенова]

Обозначим угол при основании за α, угол при вершине за β. Из равенства углов при основании равнобедренного треугольника и теоремы о сумме углов треугольника имеем 2α+β=π. Тогда β=π-2α, а cos β= cos (π-2α)=-cos 2α. По формуле для косинуса суммы углов имеем cos 2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α. Тем самым, cos β=2sin²α-1=-0.28∎

Я секунду назад дорешала, и у меня также получилось!
Ура!

Спасибо!!!

[Юля Семенова]

Только я решала по другому, так как Tasha007 подсказала.

[Вавёрка]

Угол при основании x, при вершине 2y.
sin x = 0.6
Половина угла при вершине: sin y = sin (90-x) = cos x = корень квадратный (1 - sin x*sinx) = 0.8
Угол при вершине: cos 2y = cos y*cos y - sin y*sin y = cos y*cos y - (1 - cos y*cos y) = 2*cos y*cos y - 1 = 0.28

[Strossmayer]

Угол при основании x, при вершине 2y.
sin x = 0.6
Половина угла при вершине: sin y = sin (90-x) = cos x = корень квадратный (1 - sin x*sinx) = 0.8
Угол при вершине: cos 2y = cos y*cos y - sin y*sin y = cos y*cos y - (1 - cos y*cos y) = 2*cos y*cos y - 1 = 0.28
В действительности, arcsin 0.6 ≃ 37°, поэтому угол при вершине тупой, а косинус его должен быть отрицательным. Не очень понимаю, где именно у Вас ошибка, но она точно имеется :).

[Yoda]

Эти именно алгебра, тригонометрия.
Ну надо же :065:
Всю жизнь считала, что тригонометрия это раздел геометрии, а не алгебры. Вот уж действительно - век живи век учись :065:

[Юля Семенова]

Сколько способов решения этой задачи, обалдеть.

Я определила, что косинус половины угла при вершине равен 0,6
А потом в формулу двойного угла просто подставила это значение.
Но сама бы не сообразила без подсказки. Tasha007, спасибо!
Все забыла уже, а в школе очень нравилось.

[Вавёрка]

В действительности, arcsin 0.6 ≃ 37°, поэтому угол при вершине тупой, а косинус его должен быть отрицательным. Не очень понимаю, где именно у Вас ошибка, но она точно имеется :).

Ага, спать пора. Д. быть:
Угол при вершине: cos 2y = cos y*cos y - sin y*sin y = 1 - sin y*sin y - sin y*sin y = 1 - 1.28 = -0.28

[Tasha007]

Я определила, что косинус половины угла при вершине равен 0,6
А потом в формулу двойного угла просто подставила это значение.
Но сама бы не сообразила без подсказки. Tasha007, спасибо!
Все забыла уже, а в школе очень нравилось.

вот видите какая вы молодец :flower: сами решили.

[Гyлливep]

Разобьем равнобедренный треугольник на два прямоугольных. В нем отношения сторон:
http://geometry8.by.ru/Pics/trig.gif
http://geometry8.by.ru/Pics/formtrig.gif
cos угла А = sin угла В.
В нашем случае требуется найти cos угла 2*А, назовем его α,
cos (α/2) = sin β
Используем формулу половинного аргумента ( №30) (http://neive.by.ru/trigonometrija/formuly.html)
Решаем уравнение
sqrt((1+cos α)/2)=sin β
Получаем cos α = 2*(sin β^2)-1
Подставляем sin β = 0,6 получаем: 2*(0,6^2)-1 = 0,28

[Tasha007]

минус потеряли