Помогите решить задачу по стереометрии 10й класс!

[ховрошечка]

Как не рисовали плоскость и треугольник, не получается провести линию через стороны, параллельную плоскости. Те она просто не может ее не пересекать:008:
Условие по утверждению учителя( дочь сегодня подходила к ней) правильное:020:

Итак:

Через строну АС треугольника АВС проведена плоскость альфа. В принадлежит альфа.
Докажите, что прямая, проходящая через АВ и ВС параллельна плоскости альфа.

[Dinulchik]

Может быть вопрос звучит так:
Докажите, что прямЫЕ, проходящие через АВ и ВС, параллельнЫ плоскости альфа? Иначе все три точки должны лежать на одной прямой, но это маловероятно.
Короче. В школе училась давно, но суть такая - через точку В и прямую (АС) можно провести единственную плоскость (если они не лежат на одной прямой, но здесь надо тоже на что-то сослаться - некогда искать), на которой собственно и лежит этот треугольник (ну раз все его вершины лежат на плоскости альфа). Соответственно и АВ и АС также лежат на плоскости альфа. Есть определение - "Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости". Насколько я помню, каждая прямая параллелльна сама себе. Значит, АВ и ВС параллелльны альфа. И все. Если я правильно поняла условие задачи.

[кружевница]

Все три вершины треугольника принадлежат плоскости альфа согласно условию. Альфа же не пересекает сторону АС, а проведена через нее. То есть весь треугольник лежит в плоскости альфа, и следовательно, любая прямая, пересекающая две стороны треугольника, имеет две принадлежащие альфа точки и следовательно, лежит в плоскости альфа, то исть параллельна ей. Ну уж не перпендикулярна точно.
Аксиомы наизусть не произнесу, но как-то так.

[ховрошечка]

Может быть вопрос звучит так:
Докажите, что прямЫЕ, проходящие через АВ и ВС, параллельнЫ плоскости альфа? Иначе все три точки должны лежать на одной прямой, но это маловероятно.
Короче. В школе училась давно, но суть такая - через точку В и прямую (АС) можно провести единственную плоскость (если они не лежат на одной прямой, но здесь надо тоже на что-то сослаться - некогда искать), на которой собственно и лежит этот треугольник (ну раз все его вершины лежат на плоскости альфа). Соответственно и АВ и АС также лежат на плоскости альфа. Есть определение - "Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости". Насколько я помню, каждая прямая параллелльна сама себе. Значит, АВ и ВС параллелльны альфа. И все. Если я правильно поняла условие задачи.
Спасибо..
У них правда нигде не встречается такого определения параллельности( что каждая прямая параллельна сама себе) , но другого варианта все равно нет:)

Есть теорема по стериометрии, что через прямую и точку( не лежащую на этой прямой) можно провести только одну плоскость:)
Вопрос про прямую, которая пересекает АВ и ВС:) Но здесь тогда понятно...

[ховрошечка]

Все три вершины треугольника принадлежат плоскости альфа согласно условию. Альфа же не пересекает сторону АС, а проведена через нее. То есть весь треугольник лежит в плоскости альфа, и следовательно, любая прямая, пересекающая две стороны треугольника, имеет две принадлежащие альфа точки и следовательно, лежит в плоскости альфа, то исть параллельна ей. Ну уж не перпендикулярна точно.
Аксиомы наизусть не произнесу, но как-то так.
Ну мы и так треугольник относительно плоскости рассматривали , ища возможную опечатку..:008:

Короче все дело в неточности определения..

[Ирга]

Задача:


Через строну АС треугольника АВС проведена плоскость альфа. В принадлежит альфа.
Докажите, что прямая, проходящая через АВ и ВС параллельна плоскости альфа.

1) прямая AB {BC} лежит в плоскости альфа (так как точки А и В {В и C} принадлежат плоскости альфа). -> любая точка на прямой AB (BC) принадлежит плоскости альфа.
2) Проведем любую прямую L, проходящую через АВ и ВС. Обозначим точки пересечения этой прямой c отрезками AB и BC: N и M соотвественно.
3) N и M, как точки прямых AB и BC, принадлежат плоскости альфа. -> Прямая NM лежит в плоскости альфа.
4) Вспомним признак параллельности прямой и плоскости: Прямая является параллельной плоскости, когда она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
Таким образом, осталось найти прямую, которая:
- параллельна L;
- лежит в плоскости альфа.
Такая прямая есть- это прямая NM (она же L).

[ховрошечка]

Задача:


1) прямая AB {BC} лежит в плоскости альфа (так как точки А и В {В и C} принадлежат плоскости альфа). -> любая точка на прямой AB (BC) принадлежит плоскости альфа.
2) Проведем любую прямую L, проходящую через АВ и ВС. Обозначим точки пересечения этой прямой c отрезками AB и BC: N и M соотвественно.
3) N и M, как точки прямых AB и BC, принадлежат плоскости альфа. -> Прямая NM лежит в плоскости альфа.
4) Вспомним признак параллельности прямой и плоскости: Прямая является параллельной плоскости, когда она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Таким образом, осталось найти прямую, которая:
- параллельна L;
- лежит в плоскости альфа.
Такая прямая есть- это прямая NM (она же L).
Я вот так дочке и объяснила:flower:
Проблема с определениями, которые надавала их учительница
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:010::065:
Не подскажете, где можно найти более полное определение параллельности прямой и плоскости, на которое можно сослаться, если математичка придирется к решению?:008:

[exception]

Слушайте, ну не может быть прямая вне плоскости параллельна ЛЮБОЙ прямой, лежащей в плоскости
Там скорее уж будут существовать прямые, параллельные данной..
А будут - и вовсе нет (но не имеющие общих точек, но и не параллельные - в общем, кажется, это называется скрещивающимися)

времени разбирать решение нет сейчас, но ваше определение
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек
вполне корректно

а про "параллельно любой прямой, лежащей в плоскости" - конечно же, нет.
но - если прямая a и плоскость параллельны, то в этой самой плоскости поставить точку, то через эту точку можно будет обязательно провести прямую (одну), параллельную этой самой прямой a
Это не определение, а свойство какое-то - поищите в учебнике или на худой конец в интернете

[Ирга]

Другого решения вышеобозначенной задачи пока не вижу.

Но с формулировкой признаков действительно нужна точность.

Формулировать признак так будет неверно: "Прямая является параллельной плоскости, когда она параллельна ЛЮБОЙ прямой, лежащей в этой плоскости".

Согласно Погорелову:
Определение:
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

[Ирга]

Положа руку на сердце и учитывая неоднозначность того, считается ли прямая, лежащая в плоскости, ей параллельной или нет, я бы сделала так:
Утверждала бы, что прямая, проходящая через AB и BC - лежит в плоскости альфа. И все.

Вообщем написала бы след.:
1) прямая AB {BC} лежит в плоскости альфа (так как точки А и В {В и C} принадлежат плоскости альфа). -> любая точка на прямой AB (BC) принадлежит плоскости альфа.
2) Проведем любую прямую L, проходящую через АВ и ВС. Обозначим точки пересечения этой прямой c AB и BC: N и M соотвественно. N и M - несовпадающие точки.
3) N и M, как точки прямых AB и BC, принадлежат плоскости альфа. -> Прямая NM лежит в плоскости альфа.

[exception]

Вчиталась.

По-моему, что-то криво в условии
возможно, там сказано "существует прямая, проходящая через АВ и ВС параллельная плоскости альфа"?

тогда - да, существует :) все прямые, пересекающие AB и BC, и параллельные AC - будут параллельны альфа, поскольку
параллельны прямой, лежащей в этой плоскости

ясное дело, что существуют прямые, проходящие через AB и BC, и не параллельные этой плоскости - скажем, AB - проходит и через AB, и через AC, и пересекает плоскость альфа.

[ховрошечка]

Вчиталась.

По-моему, что-то криво в условии
возможно, там сказано "существует прямая, проходящая через АВ и ВС параллельная плоскости альфа"?

тогда - да, существует :) все прямые, пересекающие AB и BC, и параллельные AC - будут параллельны альфа, поскольку
параллельны прямой, лежащей в этой плоскости

ясное дело, что существуют прямые, проходящие через AB и BC, и не параллельные этой плоскости - скажем, AB - проходит и через AB, и через AC, и пересекает плоскость альфа.
Учительница в задачу все же вчиталась:065: Поменяла задачу:080:
Но вот так для себя интересно разобраться:008:
В разных учебниках дается разное определение параллельности прямых:

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.
В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
При таком определении прямая не считается параллельной самой себе, поэтому теорема о транзитивности параллельности прямых в пространстве не верна. Она заменена теоремой: "Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны". (Здесь, очевидно, имеются в виду различные прямые.)

Какое определение все же верно?:065:

[Ирга]

1)
возможно, там сказано "существует прямая, проходящая через АВ и ВС параллельная плоскости альфа"?

тогда - да, существует :) все прямые, пересекающие AB и BC, и параллельные AC - будут параллельны альфа, поскольку
параллельны прямой, лежащей в этой плоскости


Неверное предположение относительно условия задачи.
Суть вот в чем: можно ли считать прямую, лежащую в плоскости альфа, параллельной плоскости альфа?


Если да, то условие задачи корректно. Но согласно данному учителем определению:
прямая и плоскость являются параллельными, если не имеют общих точек.
Очевидно, что лежащая в плоскости альфа прямая имеет бесконечное число общих точек с альфа, откуда и возникает "затык".

И дальнейшие рассуждения не имеют смысла.

2) Здесь тоже не соглашусь:
ясное дело, что существуют прямые, проходящие через AB и BC, и не параллельные этой плоскости - скажем, AB - проходит и через AB, и через AC, и пересекает плоскость альфа.

В условии задачи было сказано, что точка B - принадлежит плоскости альфа.
Значит, если плоскость проходит через AB (обозначим ее N) и через точку B (из условия задачи) -> прямая NB, она же AB, лежит в плоскости альфа. Аналогично прямая BC лежит в плоскости альфа.
Как следствие, все прямые, пересекающие AB и BC и не проходящие через точку B, лежат в одной плоскости (альфа).

[exception]

Аааа! Не дочитала :008: пропустила про то, что B - принадлежит альфа
Так тогда плоскость проведена через AС и B - т.е. весь треугольник в ее плоскости!
И любые прямые, проведенные в плоскости этого треугольника - лежат в альфа..

ворона я :(

[ховрошечка]

1)

Неверное предположение относительно условия задачи.
Суть вот в чем: можно ли считать прямую, лежащую в плоскости альфа, параллельной плоскости альфа?


Если да, то условие задачи корректно. Но согласно данному учителем определению:
прямая и плоскость являются параллельными, если не имеют общих точек.
Очевидно, что лежащая в плоскости альфа прямая имеет бесконечное число общих точек с альфа, откуда и возникает "затык".

И дальнейшие рассуждения не имеют смысла.

.
Если следовать определению, что Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.
то получается, что любая прямая, которая принадлежит плоскости альфа параллельна ей.
Мне действительно не понятно, почему столь разные определения , и какое все таки из них верное?

[Ирга]

Зато освежили курс стереометрии.

А что касается определений там нет верных или неверных.
Тот учебник, по которому изучается курс, и надо брать за основу.

[ховрошечка]

Зато освежили курс стереометрии.

А что касается определений там нет верных или неверных.
Тот учебник, по которому изучается курс, и надо брать за основу.
О да, освежили :)

С учебником , курсом все понятно. Но вот как быть, если на экзаменах попадется такой "простой"вопрос? :008:
И в геометрии нет единства мнения на сей счет? Каждый волен считать, как ему больше нравится?

[Ирга]

Если следовать определению, что Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.
то получается, что любая прямая, которая принадлежит плоскости альфа параллельна ей.
Мне действительно не понятно, почему столь разные определения , и какое все таки из них верное?

Из определения про две параллельные прямые нельзя делать выводы про параллельность прямой и плоскости.

Вернемся к обозначенным вами определениям:
- Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.
- Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. (это дала ваша учительница, если смотреть выше).

[Ирга]

Как не рисовали плоскость и треугольник, не получается провести линию через стороны, параллельную плоскости. Те она просто не может ее не пересекать:008:
Условие по утверждению учителя( дочь сегодня подходила к ней) правильное:020:

Итак:

Через строну АС треугольника АВС проведена плоскость альфа. В принадлежит альфа.
Докажите, что прямая, проходящая через АВ и ВС параллельна плоскости альфа.

К условию задачи можно придраться и в том, что специально не оговорено, что "прямая, проходящая через АB и BC и не проходящая только через точку B".

[ховрошечка]

Из определения про две параллельные прямые нельзя делать выводы про параллельность прямой и плоскости.

Вернемся к обозначенным вами определениям:
- Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.
- Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. (это дала ваша учительница, если смотреть выше).
Почему нельзя?
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.
Прямая и плоскость считаются параллельными, если существует прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная данной.
Из этого следует, что если прямая принадлежит плоскости, то она параллельна ей? ( потому что существует прямая, совпадающая с этой прямой и принадлежащая плоскости)

[Ирга]

Прямая и плоскость считаются параллельными, если существует прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная данной.


Признак параллельности прямой и плоскости звучит так:
Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Но если ваша учительница сформулировала его как у вас написано, то, конечно, да. Но тогда что делать с противоречивостью с определением прямой и плоскости (они не могут иметь одщих точек по вашему определению, которое тоже дала учитель).