Просмотр полной версии : Помогите решить задачку по геометрии, пожа-а-алуйста
В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции
Tatsianic
22.12.2011, 01:28
Ребенку решаете?
Клёпа Великолепная ®
22.12.2011, 01:28
ужас.
это в каком классе?
ребенку. типа помогаю готовится к ГИА (завтра пробный экзамен). 9-ый класс, вот алгебру помню прекрасно, а с геометрией засада:(. не могу никак сообразить как задачку решить
Я вон всякие формулы (http://matematik-master.ru/index.php/2011-10-24-06-39-28/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F/58-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D 0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B/668-%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C-%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B8-) нашла, мож, подойдет что?
а так чот тоже не соображу сразу..
ребенку. типа помогаю готовится к ГИА (завтра пробный экзамен). 9-ый класс, вот алгебру помню прекрасно, а с геометрией засада:(. не могу никак сообразить как задачку решить
Вам лучше в раздел подростки http://forum.littleone.ru/forumdisplay.php?f=95
Я почти все задачи решала в школе через теорему Пифагора :))
Через нее - легко и эту решить можно :)) . Другое дело, что если под конкретную какую-то тему задача идет, тады через формулы, но это опять таки смотря какая тема.
легко?можно хотя бы примерно написать: проводим высоту, получаем прямоугольный треугольник в котором известна диагональ, основание и высота неизвестны и куда здесь теорема пифагора? И где используется длина линии соединяющей середины оснований?
да...к сожалению прямоугольного треугольника здесь нет...
"отрезок, соединяющий середины оснований равен 2." это высота, да?
Susan Sto Helit
22.12.2011, 01:44
В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции
Точно середины оснований, а не боковых сторон? :008:
Раиса Максимовна
22.12.2011, 01:47
а не диагоналей середины он соединяет?
площадь трапеции 6
а тут алгоритмики
http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=201000511
Св-во трапеции: "Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности." http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%F0%E0%EF%E5%F6%E8%FF
А дальше: http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson181/
и тут еще
http://www.ankolpakov.ru/ploshhad-trapecii/
Штуша-Кутуша
22.12.2011, 01:55
легко?можно хотя бы примерно написать: проводим высоту, получаем прямоугольный треугольник в котором известна диагональ, основание и высота неизвестны и куда здесь теорема пифагора? И где используется длина линии соединяющей середины оснований?
Сорри, я уже потерла. Невнимательно условие прочитала в ночи.
Там рисунок хоть какой-нибудь прилагается к задаче? Трапеция какая? И для какого это класса?
У меня пока все дело уперлось в эту линию. Если она перпендикулярна основаниям и равна высоте - одно, если она идет под углом - другое.
Ольгутка
22.12.2011, 01:58
Точно середины оснований, а не боковых сторон? :008:
Вот мне тоже кажется, что такой вариант.
и что даст если середины боковых сторон??
Ольгутка
22.12.2011, 02:09
и что даст если середины боковых сторон??
Я уже попробовала. Решать-то, решается, но какая-то нереальная трапеция рисуется при этом, судя по числам.
Беру свои слова назад и буду решать ровно так, как написал топикстартер. Ушла думать....
Джеймс Бонд
22.12.2011, 02:09
это будет средняя линия, она будет равна a+b\2 где a и b - основания
но это слишком просто для 9 класса и 2 см не может быть при диагоналях 5 и 3 :))
Если высота трапеции равна 2, то можно решить, я прикинула. Если этот отрезок не образует прямоугольный треугольник - надо думать...
Автор, ау? подробности есть?
Я уже попробовала. Решать-то, решается, но какая-то нереальная трапеция рисуется при этом, судя по числам.
Беру свои слова назад и буду решать ровно так, как написал топикстартер. Ушла думать....
хрень получается...
что то должно быть еще..либо угол прямой, либо равнобедренная она, но тогда диагонали одинаковые, что то дб..либо 2 высота..не пойму..эх блин и математички моей нету в он лайне...
Ольгутка
22.12.2011, 02:16
хрень получается...
что то должно быть еще..либо угол прямой, либо равнобедренная она, но тогда диагонали одинаковые, что то дб
Там как раз, вроде, получаеся прямоугольный треугольник, но надо сделать дополнительное построение. Точнее, в результате дополнительных построений получается треугольник со сторонами 3, 4 и 5, который, по понятным причинам, будет прямоугольным.
Там как раз, вроде, получаеся прямоугольный треугольник, но надо сделать дополнительное построение. Точнее, в результате дополнительных построений получается треугольник со сторонами 3, 4 и 5, который, по понятным причинам, будет прямоугольным.
:0019: спать пойду...голова не варит впще
Ольгутка
22.12.2011, 02:21
Вроде бы знаю... Попробую описать, но отчасти на пальцах, а точнее по рисунку, который есть по одной из приведенных Шпинатом выше ссылок, а точнее, по вот этой - http://www.ankolpakov.ru/ploshhad-trapecii/.
Только придется включить воображение и некоторые вещи представлять мысленно, а лучше самостоятельно дорисовывать на своем листочке на своей трапеции.
Итак, открываем указанную выше ссылку и смотрим на третий и четвертый рисунок, а еще почитаем текст рядом с этими рисунками под заголовком "3) Метод сдвига диагонали".
А пока читаете, я попробую написать дальше ход рассуждений.
ВикаСтар
22.12.2011, 02:30
Вроде бы знаю... Попробую описать, но отчасти на пальцах, а точнее по рисунку, который есть по одной из приведенных Шпинатом выше ссылок, а точнее, по вот этой - http://www.ankolpakov.ru/ploshhad-trapecii/.
Только придется включить воображение и некоторые вещи представлять мысленно, а лучше самостоятельно дорисовывать на своем листочке на своей трапеции.
Итак, открываем указанную выше ссылку и смотрим на третий и четвертый рисунок, а еще почитаем текст рядом с этими рисунками под заголовком "3) Метод сдвига диагонали".
А пока читаете, я попробую написать дальше ход рассуждений.
Какая вы молодец! Мне так лень писать так много, хотя вроде знаю, как решать! Но лень раньше меня родилась.
Ольгутка
22.12.2011, 02:31
На этих рисунках есть трапеция АВСD. Если через вершину В провести прямую ВЕ, параллельную диагонали трапеции АС, то получится треугольник ЕВD. При этом четырехугольник ЕВДА будет являться параллелограммом, т.е. ВС параллельньно ЕА , оно же - прямая АД, что является основанием трапеции, а основания трапеции по определению параллельны.
Итого: ВС параллельна ЕА (см. выше), ЕВ параллельна АС (потому, что так строили). Значит, ЕВСА - параллелограмм.
А раз ЕВСА - параллелограмм, то противоположные его стороны равны (по свойству параллелограмма, если не ошибаюсь).
Итого, АС=ЕВ=3 см. 3 см - из условия.
ВС же = ЕА, опять же - как противоположные стороны параллелограмма.
В тексте около этого рисунка доказывается, что площадь треугольника ЕВД будет равна площади нашей трапеции АВСD.
Т.о., для того, чтобы найти площадь трапеции, достаточно найти площадь этого треугольника ЕВД.
Нужно пояснять доказательство того, что площадь этого треугольника будет равна площади трапеции? Или там около рисунка понятно написано?
Ольгутка
22.12.2011, 02:34
Итак, надо найти площадь этого треугольника ЕВД. Что про него знаем? ЕВ=АС=3 см. ВД=5 см (по условию).
Еще известна длина QS, соединяющей середины основания трапеции.
Здесь переходим от третьего рисунка ко второму (где наш треугольник закрашен синеньким), а QS нарисовано красным.
Видите, рядом с этим рисунком написано, что медиана ВК треугольника ЕВD будет равна QS, соединяющему середины оснований трапеций Q и S. (Вот этот момент у меня вылетел из головы, а точнее, сейчас внятно не смогу пояснить, почему эти отрезки будут равны, может кто другой попробует).
Короче, раз длина QS известна по условию и равна 2, то ВК тоже = 2 см.
Итого, надо найти площадь треугольника ЕВD, у которого ЕВ=3, ВD= 5, а медиана ВК=2.
Ольгутка
22.12.2011, 02:36
2*4=8
ну 8 же?
Да? А вот досчитать - я как раз не досчитала. Ушла...
Вернулась. А почему 8, а не 6, как площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4?
Да? А вот досчитать - я как раз не досчитала. Ушла...
Вернулась. А почему 8, а не 6, как площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4?
я не знаю, должно быть 8
трапеция ведь такая фигура, где верх и низ (пардон, не знаю как по-научному называются) параллельны
след-но как их ни сдвигай относительно друг друга - будет 8
коряво как-то объяснила
Ольгутка
22.12.2011, 03:01
Далее мне опять захотелось дорисовать, а точнее, продолжить медиану ВК на отрезок, равный ВК. Дорисуем и назовем его, допустим, КМ. Этого уже нет по ссылке, рисуем сами. Соединим точку М с точками Е и D и получим четырехугольник ЕВDМ, который будет являться параллелограммом, т.к. если в четырехугольнике диагонали равны и точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм (признак параллелограмма).
Диагональ делит параллелограмм на треугольники, равные по площади. Если нам надо найти площадь треугольника ЕВD, значит, нам надо найти половину от площади этого параллелограмма, т.е. достаточно найти площадь любой половины площади этого параллелограмма, т.е. площадь любого треугольника, который получается делением этого параллелограмма пополам одной из диагоналей. Например, найти площадь треугольника ВDM.
В этом треугольнике мы знаем все стороны: ВД=5 (по условию). МД=ЕВ (протовоположные стороны параллелограмма), а ЕВ=3, значит, и МД=3. ВМ=2*ВК, т.к. продолжали на расстояние, равное ВК, т.о. ВМ=4. Итого, надо найти площадь треугольника ВDМ со сторонами 3, 5 и 4. Треугольник этот будет прямоугольным, т.к. если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катеров, т.е. 3*4/2=6
Итого, площадь треугольника ВДМ=6, а значит площадь параллелограмма АВDМ=12, а значит площадь треугольника ЕВD (как половины площади параллелограмма) тоже равна 6. А значит, площадь нашей трапеции (которая равна площади треугольника ЕВD) тоже будет равна 6.
P.S. А топикстартер, блин, спит...:wife: А кому-вам я тут говорю, парюсь?
Раиса Максимовна
22.12.2011, 03:01
а мозги есть? есть!
:flower:
Ольгутка
22.12.2011, 03:03
я не знаю, должно быть 8
трапеция ведь такая фигура, где верх и низ (пардон, не знаю как по-научному называются) параллельны
след-но как их ни сдвигай относительно друг друга - будет 8
коряво как-то объяснила
Да, основания трапеции параллельны. Также согласна, что если сдвигать основания, не меняя их длины, высота трапеции тоже не поменяется, а значит площади трапеций получающихся сдвигом оснований друг относительно друга, будет одинаков. Но откуда получается 8 у Вас, я не поняла.
Ольгутка
22.12.2011, 03:05
Видите, рядом с этим рисунком написано, что медиана ВК треугольника ЕВD будет равна QS, соединяющему середины оснований трапеций Q и S. (Вот этот момент у меня вылетел из головы, а точнее, сейчас внятно не смогу пояснить, почему эти отрезки будут равны, может кто другой попробует).
Короче, надо доказать, что если провести в треугольнике ЕВD (построенном так, как мы его построили) медиану ВК, то ВК будет равно QS. В принципе, достаточно доказать,что ВQSК будет параллелограммом, а это можно сделать, если доказать,что BQ=КS, т.к. если они равны и параллельны, то это будет параллелограмм. А как доказать, что BQ=КS?
Вот этот момент у меня сейчас вылетел. Я не могу сейчас пояснить этот факт. Кто поможет?
Ольгутка
22.12.2011, 03:08
Кстати, еще раз спасибо Шпинат за эту ссылку: http://www.ankolpakov.ru/ploshhad-trapecii/ . Без нее недотумкала бы до решения.
Кстати, по той ссылке можно найти и задачу топикстартера. Видите, рядом с фактами про медиану ВК там как раз и пишется:
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).
Смотрю вниз страницы и вижу нашу задачу:
8) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).
уф, девушки, спасибо:flower::flower::flower:, сейчас буду разбираться
А как доказать, что BQ=КS?
Вот этот момент у меня сейчас вылетел. Я не могу сейчас пояснить этот факт. Кто поможет?
Раз ВК - медиана, то EK=KD или EA+AK=KS+SD. EA=BC=BQ+QC. SD=AS=AK+KS. Тогда BQ+QC+AK=KS+AK+KS или т.к. BQ=QC 2BQ=2KS => BQ=KS. Вроде так.
я не знаю, должно быть 8
трапеция ведь такая фигура, где верх и низ (пардон, не знаю как по-научному называются) параллельны
след-но как их ни сдвигай относительно друг друга - будет 8
коряво как-то объяснила
не-а, не должно быть, Вы упростили задачу, "назначив" диагонали основаниями ("верх и низ"), а линию, соединяющую середины оснований - высотой.
Ольгутка - БРАВО!
А как доказать, что BQ=КS?
Можно как ЛЁХА предложил, а можно сразу построить BQКS как параллелограмм, т.е. провести BQ параллельно КS, а потом уже доказывать, что ВК - медиана.
KD=KS+SD
KS=BQ=BC/2 SD=AD/2
KD= (ВС+АD)/2=(ЕА+АD)/2
Chianti*
22.12.2011, 11:11
ТС, узнаете точно верный ответ, напишите, пожалуйста. У меня 6,6 получилось, но я не вникала сильно, решала через тригонометрию
ТС, узнаете точно верный ответ, напишите, пожалуйста. У меня 6,6 получилось, но я не вникала сильно, решала через тригонометрию
ответ 6
тригонометрии у них еще не было, сказали, что это простенькая задачка по планиметрии
Chianti*
22.12.2011, 11:22
А, спасибо ) Перемудрила значит. Зато мозги размяла:)
Ольгутка
22.12.2011, 12:48
Можно как ЛЁХА предложил, а можно сразу построить BQКS как параллелограмм, т.е. провести BQ параллельно КS, а потом уже доказывать, что ВК - медиана.
Ага. Первый порыв у меня как раз был нарисовать прямую, параллельную КS, получить параллелограмм, а потом доказывать, что ВК - медиана.
Но, увы, стормозила чего-то, а потому не всплывали в голове мысли. Стыдно за это, хоть и отчасти может быть оправданием, что дело было хорошо в ночи. (((((((((
Далее мне опять захотелось дорисовать, а точнее, продолжить медиану ВК на отрезок, равный ВК. Дорисуем и назовем его, допустим, КМ. Этого уже нет по ссылке, рисуем сами. Соединим точку М с точками Е и D и получим четырехугольник ЕВDМ, который будет являться параллелограммом, т.к. если в четырехугольнике диагонали равны и точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм (признак параллелограмма).
Диагональ делит параллелограмм на треугольники, равные по площади. Если нам надо найти площадь треугольника ЕВD, значит, нам надо найти половину от площади этого параллелограмма, т.е. достаточно найти площадь любой половины площади этого параллелограмма, т.е. площадь любого треугольника, который получается делением этого параллелограмма пополам одной из диагоналей. Например, найти площадь треугольника ВDM.
В этом треугольнике мы знаем все стороны: ВД=5 (по условию). МД=ЕВ (протовоположные стороны параллелограмма), а ЕВ=3, значит, и МД=3. ВМ=2*ВК, т.к. продолжали на расстояние, равное ВК, т.о. ВМ=4. Итого, надо найти площадь треугольника ВDМ со сторонами 3, 5 и 4. Треугольник этот будет прямоугольным, т.к. если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катеров, т.е. 3*4/2=6
Итого, площадь треугольника ВДМ=6, а значит площадь параллелограмма АВDМ=12, а значит площадь треугольника ЕВD (как половины площади параллелограмма) тоже равна 6. А значит, площадь нашей трапеции (которая равна площади треугольника ЕВD) тоже будет равна 6.
P.S. А топикстартер, блин, спит...:wife: А кому-вам я тут говорю, парюсь?
Ольгутка, здорово! Спасибо огромное. Я бы не сообразила, как доказать, что BDM прямоугольный, просто в голову бы не пришло посчитать. Сегодня буду объяснять ребенку. нефига себе простенькая задачка по планиметрии:(, ощущение, что 30 лет назад геометрия в гколе была проще или просто рука тогда была "набита" и все это проще воспринималось
не-а, не должно быть, Вы упростили задачу, "назначив" диагонали основаниями ("верх и низ"), а линию, соединяющую середины оснований - высотой.
Ольгутка - БРАВО!
Прошу прощения! Особенно у умницы Ольгутки!
Paikea, Вы абсолютно правы в моей ошибке!
Вывод - нужно внимательно читать условия!
vBulletin® v3.8.7, Copyright ©2000-2025, Jelsoft Enterprises Ltd.