При небольшом бюджете я бы ехала в Вильнюс! Таллин заметно дороже, да и билетов на автобусы уже не найдете на НГ. Поездом что до Риги, что до Вильнюса цена почти одинаковая, но Рига опять же, менее бюджетный город. В Вильнюсе будет тише, спокойнее и дешевле.
Неплохой отель Алгирдас, от Старого города пешком минут 15, но в горку, за углом супермаркет, можно не брать завтрак, а покупать с утра продукты там, но в номерах нет чайников и прочего, но это все можно тут же рядом купить за небольшие деньги. А так, кафешки и рестораны вполне демократичные, неплохой аквапарк и пара торгово-развлекательных центров (Акрополис и Озиз), где можно и пошопиться немного (будут же распродажи) и ребенка поразвлекать. В Акрополисе большой каток, Лидо. В Озисе на верхнем этаже всякие детские радости в виде аттракционов-лабиринтов-лазалок и еще маленький приют с кошками и щенками, я ребенка оттуда увести не могла. Ну и Старый город, конечно!
На новогоднюю ночь не надо искать ресторан. Лучше поужинать гденить вечером и идти гулять.

На Ратушной площади будет ёлка и гуляния. А на продолжение ночи купить в номер шампанское асти за смешные деньги в ближайшем супермаркете.