Обозначаем вершины трапеции, начиная с нижней левой вершины по часовой стрелке MNKP, точку пересечения диагоналей О. Через точку О проведи высоту трапеции (h), в точке О она делится на два неравных отрезка. Обозначим длину верхнего отрезка h1, нижнего h2.
Обозначим длину отрезка АО х, длину отрезка ОВ у. Рассмотрим треугольники MNK и MAO. Они подобные, высота треугольника MNK равна h=h1+h2, высота треугольника MAO равна h2. Составляем пропорцию: х/24=h2/(h1+h2). Аналогично из треугольников MNP и АNO получаем пропорцию: х/40=h1/(h1+h2). Складываем обе пропорции, получаем: х/24+х/40=(h1+h2)/(h1+h2)=1. Отсюда: 40*х+24*х=24*40=960, х=15 см.
Совершенно аналогично находим, что у=15 см.
Значит АВ=30 см.
Попутно установили важное свойство. Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, параллельную основаниям, то в точке пересечения диагоналей она делится пополам. Запомним это свойство, и при случае будем применять при решении других задач.
И еще, длина АВ=2*х=2*40*24/(40+24).
PS Решение найдено в сети
