Математика и физика: что мы должны делать для успешной учебы наших детей?.

[masha_hayd]

Сообщение от passer-by

в целом согласна
а вот по последнему вопрос, т.к. давненько про их систему ничего не изучала, может, что уже и поменялось.
Я читала, что для поступления в вуз на определенную специальность нужно по такому-то предмету иметь такой-то уровень, по другому другой и т.д. Чтобы получить этот уровень (необходимый для обучения в вузе), профильный предмет, как правило, требуется изучать несколько семестров. В итоге если по чуть-чуть (семестр все же не резиновый и в сутках всего 24 часа) поучить все предметы - историю, математику, литературу, - то в итоге наберешь по ним всем первый-второй уровень и в вуз ни по одному из них ни попадешь. Нафиг-нафиг такое и в итоге все равно придется углублятся в более нужное, желаемое, интересное, а остальное либо никак, либо по верхам.

и в калледж не поспасть при этом

[ad1966]

Господа дамы! Я все понимаю, но все эти проблемы стоит обсуждать в топике про три обязательных и семь утомительных предметов, а то засорим тему окончательно...
Так что, если вы почистите свои сообщения про загнивающие американские скулз или перенесете их в топик про них (а он рядышком совсем), то я восприму это как личный подарок и буду весьма признателен.

А еще всем родителям желаю здоровья, удачи и успехов в течение следующих 12, 24, 36,... (арифметическая прогрессия, бесконечная, однако) месяцев, а особенно тем, чьи чады будут в этом году вершить эпохальные дела со всякими ЕГЭ, ГИА, поступлениями в вузы или хорошие школы и проч. Крепких вам нервов, но пусть они вам не понадобятся. Девченкам и мальчишкам - здоровья, интересной и успешной учебы и хороших учителей. Ну, а учителям - заинтересованных и благодарных учеников.

[Белая галка]

Александр, спасибо за поздравления! Приходите поздравляться в "Мысли..."!
Личный подарок по Вашей просьбе Вам сделала ; надеюсь, что и другие "господа дамы" не откажут.

[* Оранжевая Жизнь *]

Сообщение от galamag

Александр, спасибо за поздравления! Приходите поздравляться в "Мысли..."!
Личный подарок по Вашей просьбе Вам сделала ; надеюсь, что и другие "господа дамы" не откажут.

Я тоже поздравляю всех математиков и физиков,
репетиторов и учителей, а также родителей учеников -- С НАСТАЮЩИМ Новым Годом !!!



.


П.С. galamag, спасибо, что напомнили , а то совсем забыла! Тоже потёрла целых 5 постов!...

.

[A_Konst]

Всех с Новым Годом, присоединяюсь к поздравлениям и спасибо

Продолжу обсуждение на тему, вроде бы относящуюся к этому топику.

Сообщение от ad1966

Я не знаю, в каком году Вы окончили школу, но я однозначно вижу, что знания учащихся 70-80х годов и современных школьников отличаются разительно. Это касается и обычных школ и ФМШ. Меня даже уже перестает удивлять, когда 11-классник из ФМШ не умеет построить графики элементарных функций или увидеть примитивную подстановку при решении уравнения...

Тут в профиле указан мой возраст, и по нему понятно, что школу я закончил в начале 90-х. (конкретно, учился я в 1984-1994 гг.)

Не могу сравнивать с тем, что было в 70-80-х, но по сравнению с нынешним средним состоянием, тогда было сильно лучше. Но ведь и в 80-х и тем более в 90-х учились уже далеко не по Киселеву. Учебник по алгебре у меня был как раз Колмогорова.
Так что мне кажется, что в нынешнем падении массового образования отказ от учебников Киселева виноват далеко не в первую очередь.

Во-вторых, не хотелось бы затевать спор о том, что следует относить именно к элементарной математике, но замечу лишь, что ни Выгодский, ни Бронштейн с Семендяевым, ни оба Корна не отнесли теорию графов и теорию множеств к элементарной математике. И я вовсе не против их изучения в профильных школах, но речь-то шла об учебниках базовых.
В-третьих, если я не ошибаюсь, Киселев умер перед самой войной и почти до конца жизни принимал участие в периодическом легком редактировании своих учебников (в основном оно касалось набора задач). Теория множеств к этому времени уже ой как была развита и совсем не на элементарном уровне (там уже к 1910 году все было хорошо).

Развитие математики состоит не только в прирастании новых областей, как веточек, на большом и стройном дереве науки. Оно еще состоит в пересмотре самого устройства этого дерева. Иногда новые понятия появляются не как развитие в частные дебри, а как наоборот, прояснение общих закономерностей и открытие более простого и универсального языка для базовых вещей. Так было (на более высоком уровне) с появлением общей топологии и теории групп (я никак не призываю учить им школьников, просто к слову вспомнилось, для примера); и если в начале и середине 20 века та же топология относилась к области аспирантских спецкурсов, то сейчас воспринимается как базовая вещь для 1 курса студентов-математиков почти всех специальностей - настолько этот (относительно новый) язык упрощает объяснение и понимание многих разделов. На это, именно методическое, осознание, математикам потребовался примерно век.

Аналогично обстоит дело с мат-логикой и теорией множеств. Элементарная мат-логика очень хорошо объясняет, какие умозаключения верны, а какие могут оказаться ложными. Конечно, можно возразить, что в традиционном курсе этому замечательно учит геометрия и некоторые другие разделы математики. Но КАК они этому учат?! позволю себе аналогию - это все равно что учить синтаксису предложений языка не разбирая универсальные правила, а приводя просто кучу примеров правильного и неправильного построения фразы и расстановки запятых, без попыток анализа и поиска обобщений. Ведь по сути, прививание понимания того, какие рассуждения правильны, а какие нет, происходит только на примерах и на апелляции к "здравому смыслу". Выявить из этих примеров общие закономерности и научиться самому изобретать новые схемы правильных рассуждений почти так же сложно, как самому изобрести правила пунктуации просто по массе примеров правильных фраз, и требует от ученика известной специальной одаренности.

Простейший логический прием, доказательство "от противного", поясняется только кучей иллюстраций. Насколько проще было бы его объяснить, если бы после элементарных наводящих примеров можно было просто и прямым текстом рассказать про отрицание импликации и нарисовать таблицу истинности! Это вполне по силам 6-7 классникам.
Тем не менее, доказательство от противного и у моих сверстников вызывало примерно такие же трудности, как и сейчас у школьников, и придумать свое такое доказательство в задаче по зубам только ученикам с выдающимися способностями.

Я уж не говорю про такой "высший пилотаж", как применение правил де Моргана, к которому на интуитивном уровне, до обучения формальной мат-логике, способны лишь действительно логически одаренные дети. Хотя правила то эти по сложности понимания и применения на уровне правил раскрытия скобок или умножения в столбик.

На аргумент, этому учить нужно не всех, а только в углубенных физ-мат классах, я отвечу так.
Действительно углублённых классов, настолько, что можно добавлять прямо таки новые разделы на целую четверть, а не просто более основательно изучать общеобразовательные, можно сделать не так уж много. Навскидку, в Петербурге на каждую параллель таких можно набрать примерно 5-6 классов, ну не больше 10 точно.
Количество людей, идущих в специальности, связанные с программированием, сейчас на порядок больше.
Программист, который не знает правил де Моргана и скажем отрицания имликации, склонен делать ужасные ошибки. И таких ошибок я видел немало, и таких программистов знаю тоже немало. Мне приходилось учить азам формальной логики выпускников ПМПУ или физ-фака, учившихся в детстве хороших провинциальных физ-матах.

Более того, именно хорошее понимание логических заключений, на мой взгляд, гораздо важнее в жизни, чем даже навыки вычислений в столбик. Ясное понимание того, что из ложного утверждения можно вывести все, что угодно, и что справедливость следствия не доказывает истинности использованных предпосылок, по-моему, очень нужно большей части наших избирателей
Скажете, незачем для этого учить импликации и таблицы истинности? Тогда, аналогично, незачем изучать и деепричастные обороты.

Сообщение от ad1966

А, так Вы сторонник японского кайдзен!
Не надо его совершенствовать - у него есть (был) автор. А лучшее - враг хорошего.
Если бы я увидел современный учебник, сделанный лучше (по моему субъективному мнению) киселевских книг, то... Но, увы, не приходилось.

Да, Вы правы, конечно, существующих хороший учебник не стоит пытаться совершенствовать.
Поправлюсь - скорее, стоит совершенствовать программу, которую этот учебник задает, и именно для общеобразовательных школ.

[ad1966]

Сообщение от A_Konst

Не могу сравнивать с тем, что было в 70-80-х, но по сравнению с нынешним средним состоянием, тогда было сильно лучше. Но ведь и в 80-х и тем более в 90-х учились уже далеко не по Киселеву. Учебник по алгебре у меня был как раз Колмогорова.
Так что мне кажется, что в нынешнем падении массового образования отказ от учебников Киселева виноват далеко не в первую очередь.

Дело не в самом отказе от конкретных учебников (а там не только Киселев был выброшен, но и старые учебники начальной школы и мн. др.), а в смене концепции, в отказе от т.с. естественного подхода к изучению математики в пользу гораздо более формализованного. И процесс этот был не одномоментным. И затронул не только саму школу, но и педвузы. И деградация шла плавно. Сперва в школе работали учителя, которых учили еще в рамках старой концепции. Потом их доля естественным образом снижалась, а оставшиеся переучивались на новый лад. Постепенно же падали требования, предъявляемые вузами на конкурсных экзаменах, снижалась общая планка.
Через поколение результат уже был вполне зрим, а через два поколения - катастрофичен.
Когда Арнольд предлагал "вернуться к Киселеву", он имел в виду не просто замену учебников, а возврат к разумному подходу целиком.

Развитие математики состоит не только в прирастании новых областей, как веточек, на большом и стройном дереве науки. Оно еще состоит в пересмотре самого устройства этого дерева. Иногда новые понятия появляются не как развитие в частные дебри, а как наоборот, прояснение общих закономерностей и открытие более простого и универсального языка для базовых вещей. Так было (на более высоком уровне) с появлением общей топологии и теории групп (я никак не призываю учить им школьников, просто к слову вспомнилось, для примера); и если в начале и середине 20 века та же топология относилась к области аспирантских спецкурсов, то сейчас воспринимается как базовая вещь для 1 курса студентов-математиков почти всех специальностей - настолько этот (относительно новый) язык упрощает объяснение и понимание многих разделов. На это, именно методическое, осознание, математикам потребовался примерно век.

Я согласен с тем, что Вы пишете о развитии математики как таковой, но в методическом плане не соглашусь. Теория групп появилась на младших курсах не как следствие "методического осознания", а постольку, поскольку она нашла широкое применение в других разделах математики и теорфиза. Теперь без нее просто никак. Но согласитесь, что большинство курсов, которые читают и математикам и физикам (матан, диффуры, матфизика, аналитгеометрия, линейная алгебра, теорвер, матстат, теория чесел и проч.) спокойно обходятся и без групп. Дело не в повышении методической ценности теории групп, а в ее достаточном развитии и применении в прикладных задачах.
Но эти Ваши примеры (даже если и согласиться с Вашим взглядом) вряд ли обосновывают излишнюю формализацию математики в школе (чуть ниже скажу об этом подробней).

Аналогично обстоит дело с мат-логикой и теорией множеств. Элементарная мат-логика очень хорошо объясняет, какие умозаключения верны, а какие могут оказаться ложными. Конечно, можно возразить, что в традиционном курсе этому замечательно учит геометрия и некоторые другие разделы математики. Но КАК они этому учат?! позволю себе аналогию - это все равно что учить синтаксису предложений языка не разбирая универсальные правила, а приводя просто кучу примеров правильного и неправильного построения фразы и расстановки запятых, без попыток анализа и поиска обобщений. Ведь по сути, прививание понимания того, какие рассуждения правильны, а какие нет, происходит только на примерах и на апелляции к "здравому смыслу". Выявить из этих примеров общие закономерности и научиться самому изобретать новые схемы правильных рассуждений почти так же сложно, как самому изобрести правила пунктуации просто по массе примеров правильных фраз, и требует от ученика известной специальной одаренности.

Давайте по порядку.
1. Парадокс заключается в том, что изучение формальной матлогики, за которое Вы ратуете, доступно только тому ребенку, который овладел логикой рассуждений на т.с. "житейском" материале и уровне. Тогда не вижу ничего дурного в том, чтобы обобщить и формализовать уже имеющийся опыт. Только в этом случае получим пользу. Если же мы попытаемся изложить матлогику даже на самом примитивном уровне ребенку, который не научился рассуждать на наглядном материале, то запутаем его окончательно. Не говоря уже о том, что матлогика произведет на него жуткое впечатление и окончательно убедит его в непостижимости математики его скромными силами.
Кстати, изучение других разделов основано на том же принципе. Мы сперва учим детей считать, обращаться с натуральными, целыми, рациональными и действительными числами (а кое-где - и с комплексными), но как-то обходимся без строгого аксиоматического построения теории чисел. И нам в голову не приходит сказать, что раз дети плохо считают (а это, увы, так), то давайте возьмем строгую-престрогую и отлично написанную книгу Ландау (на Льва Давидовича, а Эдмунда) "Основы анализа" и забабахаем вывод всех арифметических действий и их свойств (и до кучи введем иррациональные числа как сечения), чтобы им все стало понятно и они таки научились считать. Понимаем же, что это не путь. (Но, для ФМШ было бы уместно). Также с геометрией: сперва знакомим детей с фигурами, рядом их свойств, даже площади учим считать и длину окружности, число пи вводим, а только потом, когда они свыклись с этими объектами, начинаем аксиоматическое изложение геометрии, но тоже без излишней строгости. Например, площади считаем, но даже не думаем вводить понятие меры и т.п. И когда учим решать алгебраические уравнения, не загружаем их общей теорией (зря ли Галуа с Абелем старались? ), а ведь следуя Вашей логике, можно сразу ввести комплексные числа, выдать теорию групп, приложить ее к полиномам, получить ... Но ведь нет - сперва получаем опыт на частных случаях, потом обобщаем и т.д. (Кстати, и математика развивается также. Крайне редко новая тема начиналась с фантазийного формализма, но почти всегда - с реальных задач, объектов, проблем. Например, матанализ не начался с языка эпсилон-дельта - этот лоск навели Коши и товарищи уже потом, и меня несколько печалит, что даже выпускники матмеха в большей своей части понятия не имеют о том, какими путями Лейбниц и Ньютон пришли ко всему этому, хотя "Начала..." давно есть на русском языке в переводе академика Крылова. А ведь важно не только конкретное знание, но и понимание его генезиса, важно к этому знанию правильно прийти, а не просто получить его в готовом и упакованном виде).
2. Теперь о традиционном курсе. Если Вы говорите о том курсе, по которому учился я (и - тем более - Вы), то я бы не хотел называть его так. Традиционный курс - это то, что было до колмогоровской реформы. И как раз тогда не было таких проблем с логическими рассуждениями, о которых Вы совершенно справедливо пишете применительно к сегодняшним школьникам. Тогда достаточно долго занимались арифметикой, т.е. арифметическими методами и простыми рассуждениями решали множество задач. Безо всяких уравнений. И ребенок учился рассуждать. Потом уравнения появлялись абсолютно логично, как аппарат, опосредующий рассуждения и позволяющий решать уже такие задачи, в которых рассуждения были бы очень многоступенчатыми и запутанными. У этих детей потом не возникало проблем ни с доказательствами от противного, но с формулированием обратных теорем (кстати, у Киселева в учебнике геометрии этому отдельно посвящался параграф). А теперь мы вводим элементы алгебры и учим решать уравнения чуть ли не в первом классе. Не удивительно, что рассуждать эти дети будут с большим трудом. И введение матлогики не спасет. Это все равно, что посадить младенца сразу за руль автомобиля и сокрушаться, что он ходить не научился, а в качестве спасения от этой проблемы мы прочитаем ему курс по спортивной ходьбе.
3. Я был бы двумя руками за преподавание основ матлогики классе в 6-7-м, если бы в нем сидели дети, которые готовы воспринять этот уровень абстракции. Вполне допускаю, что дети, с которыми приходится иметь дело Вам, вполне готовы к этому. Но возврат к тем принципам, о которых я пишу, вовсе не воспрещает обучение детей матлогике, а напротив - готовит их к этому. И наоборот, без нормальной подготовки в младшей школе (а нынешнюю я считаю не просто далекой от нормы, а противной норме) не сделаете Вы преподаванием матлогики из алогичного существа даже посредственного сисадмина, а о программисте и речи нет.

[ad1966]

Простейший логический прием, доказательство "от противного", поясняется только кучей иллюстраций. Насколько проще было бы его объяснить, если бы после элементарных наводящих примеров можно было просто и прямым текстом рассказать про отрицание импликации и нарисовать таблицу истинности! Это вполне по силам 6-7 классникам.

А кто против? Если класс готов, то учебник Киселева Вам не помешает сделать это. Он не будет возмущенно подпрыгивать на учительском слоле.
Беда только, что готовы единицы. А остальные с трудом раскрывают скобки и оперируют с дробями. И таблицами истинности Вы их только добьете.

Тем не менее, доказательство от противного и у моих сверстников вызывало примерно такие же трудности, как и сейчас у школьников, и придумать свое такое доказательство в задаче по зубам только ученикам с выдающимися способностями.

Ну, тут не соглашусь. В мои школьные времена доказательство от противного было подарком судьбы, поскольку уже содержало половину идеи. Но допускаю, что десятью годами позже все было уже гораздо хуже, а сейчас совсем плохо.

Я уж не говорю про такой "высший пилотаж", как применение правил де Моргана, к которому на интуитивном уровне, до обучения формальной мат-логике, способны лишь действительно логически одаренные дети. Хотя правила то эти по сложности понимания и применения на уровне правил раскрытия скобок или умножения в столбик.

Так ясное дело: если первые четыре года школы часто бывают потеряны для развития логического мышления ребенка. Там не только с правилами де Моргана будут проблемы, но и с более простыми вещами. И опять же: не смогут многие сегодняшние школьники в 6-7 классе понять и применять правила де Мограна. Если многие 11-классники напрочь отказываются применять теорему Виета, а предпочитают даже в очевидной ситуации считать корни кв. ур. по полной формуле корней, и не ориентаруются в признаках делимости...
Сперва надо заставить мозги работать над простыми вещами, а лишь потом давать инструмент для решения более сложных задач.

На аргумент, этому учить нужно не всех, а только в углубенных физ-мат классах, я отвечу так.
Действительно углублённых классов, настолько, что можно добавлять прямо таки новые разделы на целую четверть, а не просто более основательно изучать общеобразовательные, можно сделать не так уж много. Навскидку, в Петербурге на каждую параллель таких можно набрать примерно 5-6 классов, ну не больше 10 точно.
Количество людей, идущих в специальности, связанные с программированием, сейчас на порядок больше.
Программист, который не знает правил де Моргана и скажем отрицания имликации, склонен делать ужасные ошибки. И таких ошибок я видел немало, и таких программистов знаю тоже немало. Мне приходилось учить азам формальной логики выпускников ПМПУ или физ-фака, учившихся в детстве хороших провинциальных физ-матах.

Школа не готовит всех в программисты. И учить матлогике надо действительно не всех, а тех, кто готов этот материал понять и начать использовать. В матшколах и матклассах я бы формальной логике учил в обязательном порядке. С остальными - большой вопрос.

Более того, именно хорошее понимание логических заключений, на мой взгляд, гораздо важнее в жизни, чем даже навыки вычислений в столбик. Ясное понимание того, что из ложного утверждения можно вывести все, что угодно, и что справедливость следствия не доказывает истинности использованных предпосылок, по-моему, очень нужно большей части наших избирателей
Скажете, незачем для этого учить импликации и таблицы истинности? Тогда, аналогично, незачем изучать и деепричастные обороты.

Вы абсолютно правы, но задача не решается чтением курса матлогики. Более того - старая школа вполне справлялась с этой задачей традиционными методами. Много логических задач в младшей школе, задачи на составление уравнений в общей и старшей, много геометрии, обязательно задачи на построение (которых сейчас почти не оставили), обязательное умение доказывать теоремы по всему курсу алгебры и геометрии, внятное и последовательное изложение физики, много сочинений - и дело в шляпе. Увы, таблицами истинности и правилами де Моргана всего этого не заменить.

Да, Вы правы, конечно, существующих хороший учебник не стоит пытаться совершенствовать.
Поправлюсь - скорее, стоит совершенствовать программу, которую этот учебник задает, и именно для общеобразовательных школ.

Еще раз хочу подчеркнуть, что я вовсе не противник изучения формальной логики в школе, но считаю таковое изучение возможным только в качестве обобщения уже наработанного ребенком опыта логических рассуждений.
Что касается программ, то Вы наверное читали мою точку зрения в одной из соседних веток: не считаю правильным всех учить по одним и тем же программам. Нужна дифференциация.

P.S. Чтобы вся эта теоретическая дискуссия не была совсем бесполезной для большинства невольных участников, хочу привести несколько названий книг, которые мне в школе помогли познакомиться с теми разделами, о которых шла речь.
1. А.Гжегорчик, Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений (пер. с польского). М., Наука, 1979.
2. Э.Фрид, Элементарное введение в абстрактную алгебру (пер. с венгерского). М., Мир, 1979.
3. П.С.Александров, Введение в теорию групп. (Библиотечка "Квант", выпуск 7). М., Наука, 1980.
4. В.Е.Шевченко, Некоторые способы решения логических задач. (Библиотечка физико-математической школы). Киев, Вища школа, 1979.
5. А.Г.Курош, Алгебраические уравнения произвольных степеней. (Серия "Популярные лекции по математике"). М., Наука, 1975.

Эти книги доступны в интернете, а некоторые есть в продаже.

[Диона]

Слушайте, господа физики, у меня сейчас лампочка в люстре взорвалась и это уже второй раз! причём в первый раз, некоторое время назад, взорвалась так, что плафон разнесла (в другой люстре)
Вот что это за физическое явление?! раньше ничего такого не происходило... ну перегорела и перегорела а теперь я уже свет включать боюсь...

[Белая галка]

Сообщение от Диона

Слушайте, господа физики, у меня сейчас лампочка в люстре взорвалась и это уже второй раз! причём в первый раз, некоторое время назад, взорвалась так, что плафон разнесла (в другой люстре)
Вот что это за физическое явление?! раньше ничего такого не происходило... ну перегорела и перегорела а теперь я уже свет включать боюсь...

Вот здесь ответ по пунктам:
http://electroenerg.90mb.ru/1694-poc...ryvayutsj.html

[A_Konst]

3. Я был бы двумя руками за преподавание основ матлогики классе в 6-7-м, если бы в нем сидели дети, которые готовы воспринять этот уровень абстракции. Вполне допускаю, что дети, с которыми приходится иметь дело Вам, вполне готовы к этому. Но возврат к тем принципам, о которых я пишу, вовсе не воспрещает обучение детей матлогике, а напротив - готовит их к этому. И наоборот, без нормальной подготовки в младшей школе (а нынешнюю я считаю не просто далекой от нормы, а противной норме) не сделаете Вы преподаванием матлогики из алогичного существа даже посредственного сисадмина, а о программисте и речи нет.

И тут я двумя руками "за".
Мы имели опыт преподавания мат-логики детям, прошедшим до этого год-два мат-кружков с задачами "на рассуждения".
Именно таких задач в нашей школе сейчас очень мало. И дополнение программы азами формальной логики я предполагаю только как довесок в средних и старших классах к возврату того старого подхода.

Сообщение от ad1966

А кто против? Если класс готов, то учебник Киселева Вам не помешает сделать это. Он не будет возмущенно подпрыгивать на учительском слоле.
Беда только, что готовы единицы. А остальные с трудом раскрывают скобки и оперируют с дробями. И таблицами истинности Вы их только добьете.

Это-то я хорошо понимаю. Сначала надо решать другие проблемы.

Вы абсолютно правы, но задача не решается чтением курса матлогики. Более того - старая школа вполне справлялась с этой задачей традиционными методами. Много логических задач в младшей школе, задачи на составление уравнений в общей и старшей, много геометрии, обязательно задачи на построение (которых сейчас почти не оставили), обязательное умение доказывать теоремы по всему курсу алгебры и геометрии, внятное и последовательное изложение физики, много сочинений - и дело в шляпе. Увы, таблицами истинности и правилами де Моргана всего этого не заменить.

Я же не предлагаю заменить.
Это все прекрасно дополняется булевой алгеброй и таблицами истинности. Более того, я формальную логику рассматриваю только как инструмент для лучшего понимания того, что Вы перечислили тут.
Если явно описать, чем импликация отличается от равносильности, а потом в каждом месте, где появляется свойство, или признак, или критерий, подчеркивать, что именно у нас появилось, и какие следствия нам тут нужно доказать, понимание улучшится. А также улучшится способность видеть такие логические связи в совсем других областях, и это уже полезно в любой деятельности.

Впрочем, тут критичнее не наличие пункта "булева алгебра" в программе n-го класса, а хорошее образование и ясность мышления учителя..

Еще раз хочу подчеркнуть, что я вовсе не противник изучения формальной логики в школе, но считаю таковое изучение возможным только в качестве обобщения уже наработанного ребенком опыта логических рассуждений.

Ну конечно. я потому и пишу про 6-7 класс, когда уже простейшие вещи типа признаков делимости или равенства треугольников у детей начинают появляться.

P.S. Чтобы вся эта теоретическая дискуссия не была совсем бесполезной для большинства невольных участников, хочу привести несколько названий книг, которые мне в школе помогли познакомиться с теми разделами, о которых шла речь.

Дополню ссылкой на книгу Куранта и Роббинса "Что такое математика". (хотя кажется она тут уже упоминалась).