задача по геометрии 9 кл. помогите решить

[____MamAlena____]

Вроде и нетрудная задача, но никак не получается доказать.
Может, кто подскажет, пож-та.

В квадрате ABCD точки E и F - середины соответственно сторон ВС и CD. Точки А и Е, В и F соединены отрезками. Докажите, что АЕ перпендикулярно BF.

[rmv]

треугольники АВЕ и BCF равны по 2 стор и углу, тогда углы ВАЕ и CBF равны. Пусть точка О пересечение BC и CD.
Тогда в треугольнике АВО сумма углов ВАО+ ВОА+АВО =180, ВАО=ВАЕ, АВО= 90-CBF,
ВАЕ+ВОА+(90-CBF)=180
ВАЕ+ВОА+(90-ВАЕ)=180
ВОА=90

[____MamAlena____]

Сообщение от rmv

треугольники АВЕ и BCF равны по 2 стор и углу, тогда углы ВАЕ и CBF равны. Пусть точка О пересечение BC и CD.
Тогда в треугольнике АВО сумма углов ВАО+ ВОА+АВО =180, ВАО=ВАЕ, АВО= 90-CBF,
ВАЕ+ВОА+(90-CBF)=180
ВАЕ+ВОА+(90-ВАЕ)=180
ВОА=90

rmv, спасибо Вам большое!!

[tumannost]

Сообщение от rmv

треугольники АВЕ и BCF равны по 2 стор и углу, тогда углы ВАЕ и CBF равны. Пусть точка О пересечение BC и CD.
Тогда в треугольнике АВО сумма углов ВАО+ ВОА+АВО =180, ВАО=ВАЕ, АВО= 90-CBF,
ВАЕ+ВОА+(90-CBF)=180
ВАЕ+ВОА+(90-ВАЕ)=180
ВОА=90

сижу радуюсь - тоже обожаю геометрию и в школе обожала

[beckett]

Есть еще решение с применением поворота (как раз та тема, которая сейчас в 9 изучается). Рассмотрим поворот вокруг центра квадрата на 90 градусов. При этом вершина А перейдет в В, В - в С, С - в D и D - в А. Соответственно, середина ВС перейдет в середину CD, т.е. отрезок АЕ перейдет в отрезок BF, а по свойству поворота, угол между прямой и ее образом при повороте на угол "альфа" равен "альфа" (или 180-"альфа",если "альфа" - тупой). Поэтому угол между АЕ и BF равен 90 градусов.

[____MamAlena____]

Сообщение от beckett

Есть еще решение с применением поворота (как раз та тема, которая сейчас в 9 изучается). Рассмотрим поворот вокруг центра квадрата на 90 градусов. При этом вершина А перейдет в В, В - в С, С - в D и D - в А. Соответственно, середина ВС перейдет в середину CD, т.е. отрезок АЕ перейдет в отрезок BF, а по свойству поворота, угол между прямой и ее образом при повороте на угол "альфа" равен "альфа" (или 180-"альфа",если "альфа" - тупой). Поэтому угол между АЕ и BF равен 90 градусов.

beckett, прекрасное интересное решение! Спасибо!!